Simak yuk aturan aljabar boolean!

Aljabar Boolean

Sejarah Singkat

Penamaan Aljabar Boolean berasal dari nama seorang matematikaawan asal inggris, bernama George Boole. 

 

Diciptakan tahun 1854 dan diterbitkan pada bukunya “An Investigation of the Laws of Thought”.

Manfaat

• Aljabar Boolean digunakan untuk menangani persoalan-persoalan logika.
• Penerapan paling penting dalam aljabar boolean adalah penyederhanaan rangkaian logika.

Definisi Aljabar Boolean

Aljabar Boolean merupakan aljabar yang terdiri atas :

• suatu himpunan B
• dua operator biner yang didefinisikan pada himpunan tersebut, yaitu :

–        Penambahan (+)

–        Perkalian (.)

Sehingga untuk setiap a,b,c Î B berlaku aksioma-aksioma atau postulat berikut :

Postulat Hutingtoon

1. Closure :
1. a + b Î B
2. a . b Î B
2. Identitas :
1. Ada elemen unik 0 Î B, sehingga berlaku :

      a + 0 = 0 + a = a

1. Ada elemen unik 1 Î B, sehingga berlaku :

      a . 1 = 1 . a = a

   3. Komutatif :

1. a + b = b + a
2. a . b = b . a

      4.   Distributif :

1. a . ( b + c) = (a . b) + (a . c)
2. a + (b . c) = (a + b) . (a + c)
3. (a . b) + c = (a + c) . (b + c)

   5. Komplemen :

      Untuk setiap a Î B, ada elemen unik a’ Î B, sehingga berlaku :

      a + a’ = 1    dan    a . a’ = 0

     6.  Terdapat paling sedikit dua buah elemen , a dan b Î B sedemikian sehingga a≠b.

TURUNAN POSTULAT HUTINGTOON

Aksioma 1 sampai 6 diformulasikan secara formal oleh E. V. Huntington pada tahun 1904, sehingga dinamakan Postulat Huntington, sedangkan aksioma berikut :

7. Idempoten :
1. a . a = a
2. a + a = a
8. Asosiatif :
1. a + (b + c) = (a + b) + c
2. a . (b . c) = (a . b) . c

diturunkan dari aksioma yang lain.

Perbedaan aljabar boolean dengan aljabar biasa

• Aksioma distributif  a + (b . c) = (a + b) . (a + c) benar untuk aljabar  boolean tetapi tidak benar untuk aljabar biasa,
• Aljabar boolean tidak memiliki kebalikan perkalian dan penjumlahan, oleh karena itu tidak ada opersi pembagian dan pengurangan,
• Aksioma ke-5 mendefinisikan operator komplemen yang tidak ada pada aljabar biasa,
• Aljabar biasa memperlakukan bilangan real dengan himpunan elemen yang tidak berhingga, aljabar boolean memperlakukan himpunan elemen B yang sampai sekarang belum didefinisikan.

Persyarat aljabar boolean

• Menentukan elemen himpunan B, 
• Menentukan aturan operasi untuk operator biner,
• Himpunan B bersama-sama dengan aturan operator biner  tersebut harus memenuhi Postulat Huntington.

Sifat-sifat Aljabar Boolean

Ulasan Singkat

Hukum Identitas

Hukum identitas menunjukan bahwa gerbang X jika ditambah 0 sama dengan X dan jika X dikali 1 sama dengan X

Hukum Komplemen

Hukum Involution

Hukum involution menunjukkan jika gerbang yang sudah ada aksen(not) jika di not kan maka hasilnya sama dengan bilangan itu sendiri tanpa diberi aksen.

Hukum Commulative

Berdasarkan hukum kumulatif, urutan dari operasi OR dan AND pada suatu variabel tidak membuat perbedaan

Hukum Associative

Hukum ini memuat beberapa variabel, di mana operasi OR dari variabel hasil adalah sama meskipun pengelompokan variabel. Hukum ini mirip dengan kasus AND.

Hukum Distributive

Hukum ini menampilkan metode      untuk        mengembangkan persamaan yang mengandung OR dan AND

Hukum De Morgan

Teorema lain yang digunakan dalam gerbang digital adalah teorema de Morgan. Teorema de Morgan dapat dinyatakan dalam persamaan sebagai berikut :

Hukum Absorption

 

Antara A dan A+A.B adalah sama

Pembuktian Hukum Distributive Aljabar Boolean

Hukum ini terbentuk dari 2 operator, yaitu AND dan OR

Marilah kita lihat bagaimana pembuktian dari hukum distributive aljabar boolean...

A+B.C = (A+B).(A+C)

Pembuktian:

 A + B.C    = A.1 + B.C [ karena, A.1 = A]

= A.(1 + B) + B.C [karena, B+1 = 1]

      = A.1 + AB + BC

      = A.(1 + C) + AB + BC [karena, A.A = A.1 = A]

      = A.(A + C) + B.(A+C)

A + B.C     = (A+B).(A+C) (terbukti)

Gerbang Logika Distributive

TABEL KEBENARAN

Implementasi pada WInbreadboard

X.(Y+Z)=(X+Y).(X+Z)

X.(Y+Z)

input 000

input 001

 input 010

 input 100

 input 100

(X+Y).(X+Z)

input 001

input 010

 

 input 011

 input 100

Penyelesaian Persamaan 1

 SOAL

 

 

JAWAB

Gerbang Logika Persamaan 1

 

 Tabel Kebenaran Persamaan 1

Penyederhanaan Persamaan 1

Tabel Kebenaran Setelah Persamaan 1 Disederhanakan

Gerbang Logika Persamaan 1 Setelah Disederhanakan

 

Winbreadboard 

Sebelum disederhanakan

input 010

 

input 011

input 100

Setelah disederhanakan

input 001

 

 

Penyelesaian Persamaan 2

 SOAL 

 JAWAB

Gerbang Logika Persamaan 2 Sebelum Disederhanakan

Tabel Kebenaran sebelum disederhanakan

 Langkah penyederhanaan

Tabel Kebenaran setelah disederhanakan

 

Winbreadboard sebelum disederhanakan

input 0000

input 1111

Gerbang Logika Persamaan 2 Setelah Disederhanakan

 

Winbreadboard setelah disederhanakan

input 1000

 

 input 0000

 

 

source:

http://dwiwisnumurti.blogspot.co.id/2012/04/hukum-hukum-dan-pembuktian-pada-aljabar.html 

https://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar_Boolean