Aturan Aljabar Boolean

ALJABAR BOOLEAN

Aljabar Boolean atau dalam bahasa inggris disebut dengan Boolean Algebra adalah matematika yang digunakan untuk menganalisis dan menyederhanakan Gerbang Logika pada rangkaian-rangkaian Digital Elektronika. Boolean pada dasarya merupakan Tipe data yang hanya terdiri dari dua nilai yaitu “True” dan “False” atau “Tinggi” dan “Rendah” yang biasaya dilambangkan dengan angka “1” dan “0” pada gerbang logika ataupun bahasa pemrograman komputer. Aljabar Boolean ini pertama kali diperkenalkan oleh seorang Matematikawan yang berasal dari Inggris pada tahun 1854. Nama Boolean sendiri diambil dari nama penemunya yaitu George Boole.

Aljabar Boolean memuat aturan-aturan umum (postulat) yang menyatakan hubungan antara input-input suatu rangkaian logika dengan output-outputnya. Aturan-aturan itu dinyatakan dalam sebuah persamaan Boolean, seperti tabel berikut :

1	Identitas	X + 0 = X	X.1 = X
2	Komplemen	X + X’ = 1	X .X’ = 0
3		X + X = X	X .X = X
4		X + 1 = 1	X .0 = 0
5	Involution	(X’)’ = X
6	Commutative	X + Y = Y + X	X. Y = Y. X
7	Associative	X + (Y + Z) = (X + Y) + Z	X. (Y.Z) = (X. Y). Z
8	Distributive	X. (Y+Z) = (X.Y) + (X.Z)	X+(Y.Z) = (X+Y).(X+Z)
9	De Morgan	(X+Y)’ = X’.Y’	(XY)’ = X’ + Y’
10	Absorption	X + X.Y = X	X. (X+Y) = X

Dari tabel diatas kita  akan membuktikan dari salah satu aturan-aturan Aljabar Boolean yaitu aturan “Distributive”

a. Tabel Kebenaran

X	Y	Z	Y + Z	X (Y + Z)
0	0	0	0	0
0	0	1	1	0
0	1	0	1	0
0	1	1	1	0
1	0	0	0	0
1	0	1	1	1
1	1	0	1	1
1	1	1	1	1

X	Y	Z	Y + Z	X. (Y + Z)	X .Y	X. Z	(X.Y) + (X.Z)
0	0	0	0	0	0	0	0
0	0	1	1	0	0	0	0
0	1	0	1	0	0	0	0
0	1	1	1	0	0	0	0
1	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	1	1	0	1	1
1	1	0	1	1	1	0	1
1	1	1	1	1	1	1	1

b. Gerbang Logika

          X (Y + Z)

          

   (X.Y) + (X.Z)

c.  Pembuktian dengan winbreadboard

Dari beberapa percobaan diatas, kita dapat menyimpulkan bahwa X. (Y+Z) = (X.Y) + (X.Z). Jadi aturan aljabar Boolean terbukti.

Selanjutnya mengaplikasikan ke soal dalam penyederhanaan dengan ajaran Boolean

Soal :

jawab :

untuk soal yang pertama 

a) Gerbang Logika

b) Tabel Kebenaran

 c) Pembuktian dengan winbreadboard

Setelah disederhanakan 

a) Gerbang Logika

 b) Tabel Kebenaran

c) Pembuktian dengan winbreadboard

 Untuk soal yang kedua

a) Gerbang Logika

b) Tabel Kebenaran

c) Pembuktian dengan winbreadboard

Setelah disederhanakan menjadi :

a) Gerbang Logika

b) Tabel Kebenaran

c) Pembuktian dengan winbreadboard